Einleitendes

Vorwissen: Das zweite Newtonsche Axiom (Lerneinheit Kräfte)

Vorwissen: Bewegung auf der Kreisbahn (Lerneinheit Rotation)

Probieren Sie zunächst anhand des folgenden Applets selbst aus, wie sich Veränderungen von Anfangsauslenkung, Masse und Federkonstante auf das Schwingungsverhalten eines Federpendels auswirken.

Applet: Harmonische Federschwingung (Java Plugin)

Ableitung der Schwingungsgleichung

Wendet man auf die Anordnung in Abbildung 5.1.4-1 die Newtonschen Axiome:

und

an, so lässt sich daraus die Schwingungsgleichung ableiten. Es ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung:

Herleitung: Die Schwingungsgleichung

Lösung der Schwingungsgleichung

Eine Lösung der Bewegungsgleichung ist die uns bereits bekannte Funktion:

Das sehen Sie, wenn Sie diese Funktion in die Bewegungsgleichung einsetzen.

Herleitung: Einsetzen der Lösung in die Bewegungsgleichung

Die Eigenfrequenz

Wir finden also in der Schwingungsgleichung das Ergebnis unserer Analogiebetrachtung zwischen Kreisbewegung und Schwingungsbewegung wieder. Diese Lösung gilt allerdings nur unter einer bestimmten Bedingung für w₀ :

w₀ heißt Eigenkreisfrequenz der Federschwingung. Mit den Gesetzen der Kreisbewegung kann man aus der Eigenkreisfrequenz die Eigenfrequenz des schwingenden Systems sowie seine Schwingungsdauer berechnen:

Die Eigenfrequenz - und damit auch die Schwingungsdauer - ist eine dem Schwingungssystem eigene Größe. Sie hängt bei dem besprochenen mechanischen System "Feder mit Massenstück" nur von der Federkonstanten D und der Masse m ab. Dies ist die bemerkenswerteste Eigenschaft harmonischer Schwingungen.

Wir werden später sehen, dass sich zwar bei anderen schwingenden Systemen die charakteristischen Größen des Systems (hier Masse und Federhärte) ändern. Die physikalischen Gesetzmäßigkeiten bleiben jedoch die gleichen.

Drehschwingungen

Wie schon zu Anfang gezeigt wurde, gibt es auch Drehschwingungssysteme. Diese bestehen z.B. aus einer drehbaren Masse und einer Spiralfeder (wie in einer mechanischen Armbanduhr). So wie schon in der Mechanik dargelegt wurde, tritt bei einer Drehbewegung an die Stelle der Masse das Massenträgheitsmoment J und die Federkonstante bzw. Richtgröße wird durch die Winkelrichtgröße D* ersetzt.

Da die Physik der Drehschwingung aber die gleiche ist wie bei anderen Schwingungen, ergibt sich für die Schwingungsdauer einer Drehschwingung:

VRML-Szene: Drehschwingung in einer virtuellen Welt (Cosmo Player)

Film: Drehschwingung
(Größe: 246KB, Datei: 0505drehschwing.mpg, Media Player)

© 1999-2005, Prof.Dr.D. Hannemann, Gelsenkirchen