Aussagenlogik
Die Aussagenlogik befasst sich mit der Analyse von Verknüpfungen gegebener Aussagen A, B, wie z. B. nicht-A; A und B; A oder B; wenn A, so B; A genau dann, wenn B. Dabei wird die logische Struktur nur insoweit berücksichtigt, wie eine Aussage aus anderen zusammengesetzt ist. Die einfachsten, im Rahmen der Aussagenlogik nicht weiter zerlegbaren Aussagen, heißen auch atomar. Die innere Struktur von Aussagen, wie sie z. B. in der traditionellen Logik ganz wesentlich durch die Subjekt-Prädikatbeziehung zum Ausdruck kommt, ist in der Aussagenlogik nicht von Interesse. Sie untersucht die extensionalen Aussagenoperationen, die dadurch charakterisiert sind, dass der Wahrheitswert einer aus einfacheren Bestandteilen zusammengesetzten Aussage nur von dem Wahrheitswert der Teilaussagen und nicht von deren Inhalt abhängt.
Die klassische zweiwertige Aussagenlogik, bei der nur die beiden Wahrheitswerte wahr oder 1 bzw. falsch oder 0 zugelassen sind, untersucht vor allem die Aussagenoperationen Negation, Konjunktion, Alternative, Implikation und Äquivalenz, mit deren Hilfe die Aussagen der klassischen Mathematik formuliert werden können. Hierbei bedeutet zweiwertig, dass eine (mathematische) Aussage so präzise formuliert ist, dass sie einen Sachverhalt genau widerspiegelt oder ihn verfehlt, d. h., jede Aussage ist wahr oder falsch. Ein möglicher dritter oder weiterer Wahrheitswert, wie er in der mehrwertigen Logik zugelassen ist, wird hier ausgeschlossen (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten). Weiterhin ist keine Aussage wahr und falsch.
Eine im Rahmen der Aussagenlogik gebildete Aussage, die schon aufgrund ihrer logischen Struktur wahr ist, wie z. B. A oder nicht-A, heißt (aussagenlogisch) allgemeingültig oder (aussagenlogische) Tautologie.
Um mathematische Methoden bei der Untersuchung der Aussagenlogik nutzen zu können, bedient man sich der Formalisierung der Aussagenlogik, was zum Aussagenkalkül (siehe unten) führt. Bei der Formalisierung werden zusammengesetzte Aussagen durch spezielle Zeichenreihen über ein geeignetes Alphabet (Menge der zu benutzenden Grundzeichen) als Ausdrücke oder Formeln dargestellt. Das Alphabet enthält Aussagenvariablen, Funktoren oder Konnektoren als Symbole für die betrachteten aussagenlogischen Operatoren, und Klammern als technische Zeichen zur Kennzeichnung der Zusammengehörigkeit bestimmter Teilausdrücke.
Je nach beabsichtigter Untersuchung werden unterschiedliche Kalküle
auch unterschiedliche Funktoren benutzen, wobei man stets mit ein und
zweistelligen Konnektoren auskommt. Da die Wahrheitswerte in der zweiwertigen
Logik nur aus wahr oder 1 bzw. falsch oder 0 bestehen, lässt sich
jeder Funktor durch eine endliche Wertetabelle charakterisieren. Durch
die folgende Tabelle sind die klassischen Funktoren 
der Reihe nach interpretiert als Konjunktion, Alternative, Implikation,
Äquivalenz und Negation, wobei p und q Aussagenvariablen bezeichnen.
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Konjunktion |
Alternative |
Implikation |
Äquivalenz |
Negation |
| p |
q |
p |
p |
p |
p |
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| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
q
q
q
q
pIn jedem Ausdruck treten nur endlich viele Funktoren und Variablen auf, die nur die Werte 1 oder 0 annehmen können.
Damit lässt sich für jeden vorgelegten Ausdruck durch Berechnung entscheiden, ob er eine Tautologie darstellt oder nicht. Die Tautologie
stellt als Beweisprinzip die Kontraposition dar. Um z. B. die Implikation wenn A, so B zu beweisen, genügt es, aus der Negation von B die Negation von A zu zeigen.
Die Berechnung des Wahrheitswertes eines Ausdrucks bei einer gegebenen Belegung der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten gehört zur Semantik der Aussagenlogik. Des weiteren können mit den formalisierten Ausdrücken bestimmte syntaktische (formale) Operationen vorgenommen werden. Insbesondere lassen sich aus gewissen Axiomen mit wenigen formalen Schlussregeln oder Ableitungsregeln alle Tautologien und nur diese herleiten. In diesem Sinne ist die zweiwertige Aussagenlogik vollständig, d. h., es gibt ein Axiomensystem, bestehend aus Ausdrücken, und eine endliche Menge formaler Schlussregeln, so dass nur mit Hilfe dieser Schlussregeln aus den Axiomen genau die Tautologien beweisbar sind.
